FISICA GENERAL(Damaris): ECUASION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad es un importante principio físico muy útil para la descripción de los fenómenos en los que participan fluidos en movimiento, es decir en lahidrodinámica. Para la formulación de la ecuación de continuidad de los fluidos se asumen un grupo de consideraciones ideales que no siempre se tienen en los fenómenos reales de movimientos de fluidos, de modo que en general, aunque la ecuación es clave para la interpretación de los fenómenos reales, los cálculos derivados de su uso serán siempre una aproximación a la realidad, sin embargo, en una buena parte de los casos con suficiente exactitud como para poder ser considerados como ciertos.

Antes de entrar en el tema que nos ocupa debemos definir algunos conceptos importantes y útiles para la comprensión:

1.- Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.2.- Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.3.- Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.4.- Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.Entrando en la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad parte de las bases ideales siguientes:

1.- El fluido es incompresible.2.- La temperatura del fluido no cambia.

3.- El flujo es continuo, es decir su velocidad y presión no dependen del tiempo.4.- El flujo es laminar. No turbulento.5.- No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.6.- No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

Figura 1. Un fluido en movimiento con las lineas de corriente a lo largo de un tubo imaginario de sección variable.

Tomemos un tubo imaginario de sección variable formado por un racimo de lineas de corriente del interior de un fluido en movimiento como se muestra en la figura 1. En un intervalo pequeño de tiempo Δt, el fluido que entra por el fondo del tubo imaginario recorre una distancia Δx₁ = v₁ Δt siendo v₁ la velocidad del fluido en esa zona. Si A₁ es el área de la sección transversal de esta región, entonces la masa de fluido contenida en la parte azul del fondo es ΔM₁ = ρ₁A₁ Δx₁ = ρ₁A₁v₁Δt, donde ρ es la densidad del fluido. De la misma forma el flujo que sale por el extremo superior del tubo imaginario en el mismo tiempo Δt tiene la masa ΔM₂ = ρ₂A₂v₂Δt. Como la masa debe conservarse y debido también a que el flujo es laminar, la masa que fluye a través del fondo del tubo en la sección A₁, en el tiempo Δt, será igual a la que fluye en el mismo tiempo a través de A₂. Por lo tanto ΔM₁ = ΔM₂, o:

ρ₁A₁v₁Δt = ρ₂A₂v₂Δt (ecuación 1)

Si dividimos por Δt tenemos que:

ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂ (ecuación 2)

La ecuación 2 se conoce como ecuación de continuidad.

Como hemos considerado que el fluido es incompresible entonces ρ₁ = ρ₂ y la ecuación de continuidad se reduce a:

A₁v₁ = A₂v₂

Es decir, el área de la sección transversal de un tubo, multiplicada por la velocidad del fluido es constante a todo lo largo del tubo. El producto Av, que tiene las dimensiones de volumen por unidad de tiempo se conoce como caudal

En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de formaintegral como de forma diferencial.

En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente es igual al negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:

En otras palabras, sólo podrá haber un flujo de corriente si la cantidad de carga varía con el paso del tiempo, ya que esta disminuye o aumenta en proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.

$\nabla \cdot \vec{J} = - {\partial \rho \over \partial t}$

Esta ecuación establece la conservación de la carga.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es:

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0$

donde $\rho$ es la densidad, t el tiempo y $\vec{u} = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k$ la velocidad del fluido. Es una de las tresecuaciones de Euler.

Mecánica cuántica

En Mecánica cuántica, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la probabilidad. Su forma diferencial es:¹

$\frac {\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$

Donde $\rho$ es la densidad de probabilidad de la función de ondas y $\mathbf{j}$ es la corriente de probabilidad o densidad de corriente. Estas dos expresiones se pueden relacionar con la función de onda de una partícula como:

$\rho=|\Psi|^2=\Psi^*(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t), \quad \mathbf{j} = {i \over 2m} \left( \Psi^*\boldsymbol{\nabla}\Psi - \Psi\boldsymbol{\nabla}\Psi^* \right)\,\!$

Mecánica relativista

En la teoría especial de la relatividad, una ecuación de continuidad debe escribirse en forma covariante, por lo que la ecuación de continuidad usual para la carga eléctrica y otras magnitudes conservadas se suele escribir en teoría de la relatividad como:

$\part_\alpha j^\alpha = \frac{\part j^\alpha}{\part x^\alpha} = 0, \qquad \qquad \begin{cases} (j^0, j^1, j^2, j^3) = (\rho c, j_x, j_y, j_z)\\ (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct, x, y, z) \end{cases}$

La ecuación de continuidad para la densidad másica (o más exactamente la energía másica) y la densidad de momento lineal se escribe en términos del tensor energía impulso:

$\part_\alpha T^{0\alpha} = \frac{\part T^{0\alpha}}{\part x^\alpha} = 0$

En el contexto de la teoría general de la relatividad las derivadas parciales deben substituirse por derivadas covariantes:

$\nabla_\alpha j^\alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\part}{\part x^k} \left(\sqrt{|g|} j^k \right) = 0$

Donde $\scriptstyle \sqrt{|g|}$ es la raíz del determinante del tensor métrico asociado a las coordenadas $\scriptstyle x^\alpha$ . Y análogamente para la conservación de la energía: