martes, 17 de mayo de 2016

CIRCUITO RL, CIRCUITO RC Y CIRCUITOS RLC

Circuito RL

Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y una bobina en serie. Se dice que la bobina se opone transitoriamente al establecimiento de una corriente en el circuito.

La ecuación diferencial que rige el circuito es la siguiente:

Circuito RL en serie.

U = L\frac{di}{dt}+R_t.i

Donde:

$U$ es la tensión en los bornes de montaje, en V;
$i$ es la intensidad de corriente eléctrica en A;
$L$ es la inductancia de la bobina en H;
$R_t$ es la resistencia total del circuito en Ω.

Régimen transitorio[editar]

La solución general, asociada a la condición inicial

i_{bobina}(t=0) = 0

, es:

i_{bobina} = \frac{U}{R_t}(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

\tau = \frac{L}{R_t}

Dónde:

$i_{bobina}$ es la intensidad de la corriente eléctrica del montaje, en A ;
$L$ es la inductancia de la bobina en H ;
$R_t$ es la resistencia total del circuito en Ω ;
$U$ es la tensión del generador, en V ;
$t$ es el tiempo en s ;
$\tau$ es la constante de tiempo del circuito, en s.

La constante de tiempo $\tau$ caracteriza la « duración » del régimen transitorio. Así, la corriente permanente del circuito se establece a 99% después de una duración de 5 $\tau$ .

Cuando la corriente se convierte en permanente, la ecuación se simplifica en

U = R_t.i

, ya que

L\frac{di}{dt} = 0

.

Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.

Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz.

Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) dI/dt

Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor.

Según kirchhoff:                     V = (IR) + [L (dI / dt)]

         IR = Caída de voltaje a través de la resistencia.

Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:

               x = (V/R) – I           es decir;       dx = -dI

Sustituyendo en la ecuación:     x + [(L/R)(dx/dt)] = 0      dx/x = - (R/L) dt

Integrando:                                  ln (x/xo) = -(R/L) t

Despejando x:                               x = xo e^{–Rt / L}

Debido a que                                     xo = V/R

El tiempo es cero , y corriente cero              V/R – I = V/R e^{–Rt / L}
                                 I = (V/R) (1 - e^{–Rt / L})

El tiempo del circuito está representado por  t = L/R
                                 I = (V/R) (1 – e^{– 1/}t)

Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero.

Para verificar la ecuación que implica a t y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial:                                  dI/dt = V/L e^{– 1/}t

Se sustituye:                             V = (IR) + [L (dI / dt)]

V = [ (V/R) (1 – e^{– 1/}t)R + (L V/ L e^{– 1/}t)]

V – V e^{– 1/}t = V – V e^{– 1/}t



OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC

Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la resistencia.

En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q²máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar.

En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL

U = [ Q²/(2C) ] + ( LI²/2 )

Circuito RC

Circuito RC en configuración paso bajo.

Un circuito RC es un circuito compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtro elimina banda. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia.

En la configuración de paso bajo la señal de salida del circuito se coge en bornes del condensador, estando este conectado en serie con la resistencia. En cambio en la configuración de paso alto la tensión de salida es la caída de tensión en la resistencia.

Este mismo circuito tiene además una utilidad de regulación de tensión, y en tal caso se encuentran configuraciones en paralelo de ambos, la resistencia y el condensador, o alternativamente, como limitador de subidas y bajas bruscas de tensión con una configuración de ambos componentes en serie. Un ejemplo de esto es el circuito Snubber.

Carga

El sistema reaccionará de distinta manera de acuerdo a las excitaciones entrantes, como ejemplo, podemos representar la respuesta a la función escalón o la función de salto. La tensión originalmente desde el tiempo 0 subirá hasta que tenga la misma que la fuente, es decir, $U_{\rm max}$ . La corriente entrará en el condensador hasta que entre las placas ya no puedan almacenar más carga por estar en equilibrio electrostático (es decir que tengan la misma tensión que la fuente). De esta forma una placa quedará con carga positiva y la otra con carga negativa, pues esta última tendrá un exceso de electrones.

El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacidad C del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el comportamiento de este. $\tau$ .

$\tau = R \cdot C \,$

Teóricamente este proceso es infinitamente largo, hasta que U(t)=U_max. En la práctica se considera que el tiempo de carga t_L se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo.

$t_{L} = 5 \cdot \tau \,$

La constante de tiempo τ marca el tiempo en el que la curva tangente en el inicio de la carga marca en intersección con la línea de máxima tensión la constante de tiempo τ. Este tiempo sería el tiempo en el que el condensador alcanzaría su tensión máxima si es que la corriente entrante fuera constante. En la realidad, la corriente con una fuente de tensión constante tendrá un carácter exponencial, igual que la tensión en el condensador.

La máxima corriente $I_{\rm max}$ fluye cuando el tiempo es inicial(es decir t=0). Esto es debido que el condensador está descargado, y la corriente que fluye se calcula fácilmente a través de la ley de Ohm, con:

$I_{\rm max} = \frac{U_{\rm max}}{R} \,$

Respuesta natural

Circuito RC (en serie).

El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia en serie. Cuando un circuito consiste solo de uncondensador cargado y una resistencia, el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. La tensión o diferencia de potencial eléctrico a través del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando la ley de Kirchhoff de la corriente, donde la corriente a través del condensador debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. Esto resulta en la ecuación diferencial lineal:

$C\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}=0$ .

Resolviendo esta ecuación para V se obtiene la fórmula de decaimiento exponencial:

$V(t)=V_0 e^{-\frac{t}{RC}} \ ,$

donde V₀ es la tensión o diferencia de potencial eléctrico entre las placas del condensador en el tiempo t = 0.

El tiempo requerido para que el voltaje caiga hasta $\frac{V_0}{e}$ es denominado "constante de tiempo RC" y es dado por

$\tau = RC \$

Impedancia compleja

La impedancia compleja, Z_C (en ohmios) de un condensador con capacidad C (en faradios) es

$Z_C = \frac{1}{sC}$

La frecuencia compleja s es, en general, un número complejo,

$s \ = \ \sigma + j \omega$

donde

j representa la unidad imaginaria:

$j^2 = -1$

$\sigma \$ es el decrecimiento exponencial constante (en radianes por segundo), y

$\omega \$ es la frecuencia angular sinusoidal (también en radianes por segundo).

Circuito en serie

Circuito en serie RC.

Viendo el circuito como divisor de tensión, el voltaje a través del condensador es:

$V_C(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)$

y el voltaje a través de la resistencia es:

$V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s)$ .

Funciones de transferencia

La función de transferencia de desde el voltaje de entrada al voltaje a través del condensador es

$H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) } = { 1 \over 1 + RCs }$ .

De forma similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada al voltaje de la resistencia es

$H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) } = { RCs \over 1 + RCs }$ .

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un único polo localizado en

$s = - {1 \over RC }$ .

Además, la función de transferencia de la resistencia tiene un cero localizado en el origen.

Ganancia y fase[editar]

La magnitud de las ganancias a través de los dos componentes son:

$G_C = | H_C(j \omega) | = \left|\frac{V_C(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}$

y

$G_R = | H_R(j \omega) | = \left|\frac{V_R(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}$ ,

y los ángulos de fase son:

$\phi_C = \angle H_C(j \omega) = \tan^{-1}\left(-\omega RC\right)$

y

$\phi_R = \angle H_R(j \omega) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\omega RC}\right)$ .

Estas expresiones conjuntamente pueden ser sustituidas en la usual expresión para la representación por fasores:

$V_C \ = \ G_{C}V_{in} e^{j\phi_C}$
$V_R \ = \ G_{R}V_{in} e^{j\phi_R}$ .

Corriente[editar]

La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito ya que el circuito está en serie:

$I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R + \frac{1}{Cs}} = { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)$

Respuesta a impulso[editar]

La respuesta a impulso para cada voltaje es la inversa de la transformada de Laplace de la correspondiente función de transferencia. Esta representa la respuesta del circuito a una entrada de voltaje consistente en un impulso o función delta de Dirac.

La respuesta impulso para el voltaje del condensador es

$h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)$

donde u(t) es la función escalón de Heaviside y

$\tau \ = \ RC$

es la constante de tiempo.

De forma similar, la respuesta impulso para el voltaje de la resistencia es

$h_R(t) = \delta (t) - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t) = \delta (t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)$

donde δ(t) es la función delta de Dirac

Análisis de frecuencia

Lugar de Bode de $H_C$

Un análisis de frecuencia del montaje permite determinar cuáles son las frecuencias que el fitro rechaza y cuáles acepta. Para bajas frecuencias, $H_C$ tiene un módulo cercano a 1 y una fase próxima a 0. Cuando la frecuencia aumenta, su módulo disminuye para tender a 0 mientras que la fase tiende a $-\pi/2$ . Por el contrario, $H_R$ posee un módulo cercano a 0 a bajas frecuencias y una fase próxima a $\pi/2$ y cuando la frecuencia aumenta, el módulo tiende a 1 y su fase tiende a 0.

Cuando $\omega \to 0$ :

$G_C \to 1$ y $\varphi_C \to 0$ .
$G_R \to 0$ y $\varphi_R \to 90^{\circ} = \pi/2$ .

Cuando $\omega \to \infty$ :

$G_C \to 0$ y $\varphi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2$
$G_R \to 1$ y $\varphi_R \to 0$ .

Así, cuando la salida del filtro está tomada sobre el condensador el comportamiento es de tipo filtro paso bajo: las altas frecuencias son atenuadas y las bajas frecuencias pasan. Si la salida está tomada sobre la resistencia, se produce el proceso inverso y el circuito se como un filtro paso alto.

La frecuencia de corte $f_c$ del circuito que define el límite tiene 3 dB entre las frecuencias atenuadas y aquéllas que no lo son; es igual a:

$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$ (en Hz)

Análisis temporal

Por razones de simplicidad, el análisis temporal se efectuará utilizando la transformada de Laplace p. Suponiendo que el circuito está sometido a una escalón de tensión de amplitud V de entrada ( $V_{in} = 0\,$ para $t = 0\,$ y $V_{in} = V\,$ sinon) :

$V_{in}(p) = \frac{V}{p}$
$V_C(p) = H_C(p)V_{in}(p) = \frac{1}{1 + pRC} \frac{V}{p}$
$V_R(p) = H_R(p)V_{in}(p) = \frac{pRC}{1 + pRC}\frac{V}{p}$ .

La transformada de Laplace inversa de estas expresiones resulta:

$V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$
$V_R(t) = Ve^{-t/RC}\,$ .

En este caso, el condensador se carga y la tensión en los bornes tiende a V, mientras que en los bornes de la resistencia tiende a 0.

Determinación gráfica de $\tau$ para la observación de $V_C(t)$ .

El circuito RC posee una constante de tiempo, generalmente expresado como $\tau = RC\,$ , que representa el tiempo que toma la tensión para efectuar el 63% ( $1-e^{-1}$ ) de la variación necesaria para pasar del valor inicial al final.

Igualmente es posible derivar estas expresiones de las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:

$\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}$
$V_R = V_{in} - V_C\,$ .

Las soluciones son exactamente las mismas que aquéllas obtenidas mediante la transformada de Laplace.

Integrador

A alta frecuencia, es decir cuando $\omega >> \frac{1}{RC}$ , el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y la tensión en los bornes permanece pequeña.

Así:

$V_R \approx V_{in}$

y la intensidad en el circuito vale por tanto:

$I \approx \frac {V_{in}}{R}$ .

Como,

$V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt$

se obtiene:

$V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt$ .

La tensión en los bornes del condensador integrado se comporta como un filtro de paso-bajo.

A baja frecuencia, es decir cuando $\omega << \frac{1}{RC}$ , el condensador tiene el tiempo de cargarse casi completamente.

Entonces,

$I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}$
$V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C$

Ahora,

$V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R$
$V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}$ .

La tensión en los bornes de la resistencia derivado se comporta como un filtro de paso-alto.

Circuito en paralelo

Un circuito RC en paralelo.

El circuito RC en paralelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie. Esto es en gran parte debido a que la tensión de salida $V_{out}$ es igual a la tensión de entrada $V_{in}$ — como resultado, el circuito no actúa como filtro de la señal de entrada si no es alimentado por una fuente de corriente.

Con impedancias complejas:

$I_R = \frac{V_{in}}{R}\,$

y

$I_C = j\omega C V_{in}\,$ .

Esto muestra que la corriente en el condensador está desfasada 90º de fase con la resistencia (y la fuente de corriente). Alternativamente, las ecuaciones diferenciales de gobierno que pueden usarse son:

$I_R = \frac{V_{in}}{R}$

y

$I_C = C\frac{dV_{in}}{dt}$ .

Cuando es alimentado por una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC en paralelo es:

$\frac{V_{out}}{I_{in}} = \frac{R}{1+sRC}$ .

Circuito RLC

En electrodinámica un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia).

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primer orden).

Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferencial que lo rige).

Circuito RLC en serie

Circuito RLC en serie.

Circuito sometido a un escalón de tensión

Si un circuito RLC en serie es sometido a un escalón de tensión $E \,$ , la ley de las mallas impone la relación:

$E = u_C + u_L + u_R = u_C + L \frac{di}{dt} + R_ti$

Introduciendo la relación característica de un condensador:

$i_C = i = C \frac{du_C}{dt}$

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:

$E = u_C + LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + R_tC \frac{du_C}{dt}$

Donde:

E es la fuerza electromotriz de un generador, en Voltios (V);

u_C es la tensión en los bornes de un condensador, en Voltios (V);

L es la inductancia de la bobina, en Henrios (H);

i es la intensidad de corriente eléctrica en el circuito, en Amperios (A);

q es la carga eléctrica del condensador, en Coulombs (C);

C es la capacidad eléctrica del condensador, en Faradios (F);

R_t es la resistencia total del circuito, en Ohmios (Ω);

t es el tiempo en segundos (s)

En el caso de un régimen sin pérdidas, esto es para $R_t = 0 \,$ , se obtiene una solución de la forma:

$u_c = E \cos \left( \frac{2 \pi t}{T_0} + \varphi \right)$
$T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$

Donde:

T₀ el periodo de oscilación, en segundos;

φ la fase en el origen (lo más habitual es elegirla para que φ = 0)

Lo que resulta:

$f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Donde $f_0$ es la frecuencia de resonancia, en hercios (Hz).

Circuitos sometidos a una tensión sinusoidal[

La transformación compleja aplicada a las diferentes tensiones permite escribir la ley de las mallas bajo la forma siguiente:

$\underline {U_G} = \underline {U_C} +\underline {U_L} +\underline {U_R}$

siendo, introduciendo las impedancias complejas:

$\underline {U_G} = - \frac{j}{C \omega} \underline I + j L \omega \underline I + R_{t} \underline I = \bigg[ R_t + j \frac{LC \omega^2 - 1}{C \omega} \bigg] \underline I$

La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω₀ es dada por:

$\omega_0= \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:

$\underline {U_G} = \underline {U_R} = R_t \underline I$
y se obtiene: $\underline {U_L} = - \underline {U_C} = \frac{j}{R_t} \sqrt{\frac{L}{C}} \underline {U_G}$

Circuito RLC en paralelo

Circuito RLC en paralelo.

$i_r = \frac{u}{R}$
$\frac{di_l}{dt} = \frac{u}{L}$
$i_c = \frac{dq}{dt} = C \frac{du}{dt}$

ya que $q = C u\,$

$i = i_r + i_l + i_c \,$

$\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{du}{dt} + \frac{u}{L}$

Atención, la rama C es un corto-circuito:de esta manera no se pueden unir las ramas A y B directamente a los bornes de un generador E, se les debe adjuntar una resistencia.

Las dos condiciones iniciales son:

$i_{l0} \,$ conserva su valor antes de la puesta en tensión (porque la inductancia se opone a la variación de corriente).

$q_0 \,$ conserva su valor antes de la puesta en tensión $u_0 = \frac{q_0}{C}$ .

Circuito sometido a una tensión sinusoidal

La transformación compleja aplicada a las diferentes intensidades proporciona:

$\underline I=\underline {I_r} + \underline {I_l} +\underline {I_c}$

Siendo, introduciendo las impedancias complejas:

$\underline I = \frac{1}{R} \underline U + \frac{1}{j L \omega} \underline U + j C \omega \underline U$
siendo : $\underline I = \left[ \frac{1}{R} + j (C \omega - \frac{1}{L \omega}) \right] \underline U$

La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω₀ es dada por:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:

$\underline I = \underline {I_r} = \frac{1}{R}\underline U$
y se obtiene: $\underline {I_c} = -\underline {I_l} = j \sqrt{ \frac{C}{L}} \underline U$

Utilización de los circuitos RLC

Los circuitos RLC son generalmente utilizados para realizar filtros de frecuencias, o de transformadores de impedancia. Estos circuitos pueden entonces comportar múltiplesinductancias y condensadores: se habla entonces de "red LC".

Un circuito LC simple es denominado de segundo orden porque su función de transferencia comporta un polinomio de segundo grado en el denominador.

Circuitos RLC

En los circuitos RLC se acoplan resistencias, capacitores e inductores. Existe también un ángulo de desfasaje entre las tensiones y corrientes (y entre las potencias), que incluso puede llegar a hacerse cero. En caso de que las reactancias capacitivas e inductivas sean de distinto valor para determinada frecuencia, tendremos desfasajes.

Dependiendo de cual de las reactancias sea mayor podremos afirmar si se trata de un circuito con características capacitivas o inductivas y por lo tanto si la tensión adelanta a la corriente (y con qué ángulo) o si la corriente adelanta a la tensión.

A continuación detallamos los valores de un circuito RLC simple en serie.

Reactancia capacitiva

ω = Velocidad angular = 2πf
C = Capacidad
Xc = Reactancia capacitiva

Reactancia inductiva

ω = Velocidad angular = 2πf
L = Inductancia
Xl = Impedancia inductiva

Impedancia total del circuito RLC serie

R = Resistencia
Xl = Reactancia inductiva
Xc = Reactancia capacitiva

Angulo de desfasaje entre tensión y corriente

Xl = Reactancia inductiva
Xc = Reactancia capacitiva
R = Resistencia

Corriente máxima
El módulo de la corriente máxima que circula por el circuito es igual al módulo de la tensión máxima sobre el módulo de la impedancia.

Corriente eficaz
Para ondas senoidales podemos calcular la intensidad eficaz como:

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